等比数列首项 a₁ = 3，公比 q = 2，第 5 项是多少？
答案和讲解
答案：48
a₅ = a₁q⁴ = 3 × 2⁴ = 48。指数是 5 − 1，不是 5。
想一想：从第 1 项到第 5 项，一共乘 4 次公比。
题目和讲解
高二 · 数学 共 12 题
打开学习资料 →椭圆 x²/25 + y²/9 = 1 的焦距是多少？
答案和讲解
答案：8
a² = 25，b² = 9，所以 c² = 16，c = 4。两个焦点之间的距离为 2c = 8。
想一想：先用 c² = a² − b²，再注意焦距是 2c。
函数 f(x) = x² − 4x 在区间 (2, +∞) 上怎样变化？
答案和讲解
答案：严格递增
f′(x) = 2x − 4。当 x > 2 时，导数大于 0，因此函数在这个区间上严格递增。
想一想：求导后判断 f′(x) 的正负。
等差数列前 10 项中，首项为 2，末项为 20。前 10 项的和是？
答案和讲解
答案：110
S₁₀=10×(2+20)/2=110；首末之和乘项数后还要除以 2。
想一想：首末配对，每一对的和相同。
设 i²=−1，(1+i)(1−i) 等于？
答案和讲解
答案：2
(1+i)(1−i)=1−i²=1−(−1)=2。不能把 i² 当作 1。
想一想：先用平方差公式。
抛物线 y²=8x 的焦点坐标是？
答案和讲解
答案：(2,0)
2p=8，所以 p=4，焦点为 (2,0)；曲线沿 x 轴正方向开口。
想一想：对照标准式 y²=2px，焦点为 (p/2,0)。
从 5 人中选 2 人组成无职务区别的小组，共有多少种选法？
答案和讲解
答案：10 种
先按顺序选有 5×4 种，再除以 2 去掉重复，得 10 种。
想一想：甲乙与乙甲是同一个小组。
均匀硬币独立抛 3 次，恰好出现 2 次正面的概率是？
答案和讲解
答案：3/8
反面可在 3 个位置，每种顺序概率为 (1/2)³；总概率为 3×1/8=3/8。
想一想：哪一次为反面，有几种位置？
f(x)=x³−3x。在 x=−1 处的极值类型是？
答案和讲解
答案：极大值
f′(x)=3(x−1)(x+1)，在 −1 左侧为正、右侧为负，函数先增后减，取得极大值。
想一想：检查导数在 −1 两侧的符号。
双曲线 x²/9−y²/4=1 的渐近线是？
答案和讲解
答案：y=±(2/3)x
由 x²/9−y²/4=0 得 y²=4x²/9，因此渐近线为 y=±(2/3)x。
想一想：把对应齐次二次式设为零。
直线 l 垂直于平面 α 内两条相交直线，可以推出什么？
答案和讲解
答案：l 垂直于平面 α
一条直线垂直于平面内两条相交直线，即可判定它垂直于该平面；两条平行线则不够。
想一想：“两条相交”是判定定理的关键。
求 log₂(x−1)>1 的实数解集。
答案和讲解
答案：x>3
定义域 x>1；因 log₂ 单调递增，x−1>2，所以 x>3，同时满足定义域。
想一想：先要求真数为正，再利用底数大于 1。