20 名学生中，12 人选编程；这 12 人中有 9 人也选音乐。从选编程的人中随机抽 1 人，他也选音乐的概率是多少？
答案和讲解
答案：3/4
条件限定为选编程的人，因此概率 = 9/12 = 3/4，而不是用总人数 20 作分母。
想一想：已知选了编程，样本范围就缩小到 12 人。
题目和讲解
高三 · 数学 共 12 题
打开学习资料 →曲线 y = x² 在点 (1, 1) 处的切线方程是什么？
答案和讲解
答案：y = 2x − 1
y′ = 2x，在 x = 1 时斜率为 2。y − 1 = 2(x − 1)，即 y = 2x − 1。
想一想：导数给出切线斜率，再用点斜式。
随机变量 X 取 0、10，概率分别为 0.7、0.3。E(X) 是多少？
答案和讲解
答案：3
E(X) = 0 × 0.7 + 10 × 0.3 = 3。期望是概率加权平均，不一定是随机变量能实际取到的值。
想一想：每个取值乘对应概率，再求和。
复数 z=3−4i 的模 |z| 等于？
答案和讲解
答案：5
|z|=√(3²+(−4)²)=5；不是实部与虚部绝对值相加。
想一想：复平面中到原点的距离怎样算？
α 为锐角，sin α=3/5，则 sin 2α 等于？
答案和讲解
答案：24/25
锐角的余弦为正，cos α=4/5，所以 sin 2α=2×3/5×4/5=24/25。
想一想：先求 cos α，再用 sin 2α=2sin α cos α。
给一组数据中的每个数都加 10，这组数据的方差怎样变化？
答案和讲解
答案：不变
平均数也增加 10，所以各偏差保持不变，偏差平方的平均值即方差不变。
想一想：每个数与新平均数的差是否改变？
1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+1/(4×5) 等于？
答案和讲解
答案：4/5
每项等于 1/n−1/(n+1)，中间项相消，留下 1−1/5=4/5。
想一想：把 1/[n(n+1)] 写成两个分数之差。
袋中有 3 红球、2 蓝球，任取两球，每一球对等可能。取到不同颜色的概率是？
答案和讲解
答案：3/5
总球对有 5×4/2=10 对，红蓝组合有 3×2=6 对，概率为 6/10=3/5。
想一想：共有多少球对，其中多少是红蓝组合？
圆 x²+y²=4 与直线 x+y=3 有几个公共点？
答案和讲解
答案：0 个
圆心到直线距离为 3/√2，大于半径 2，因此直线在圆外，没有公共点。
想一想：比较圆心到直线的距离与半径。
不等式 (x−1)/(x+2)>0 的解集是？
答案和讲解
答案：x<−2 或 x>1
关键点是 −2 和 1；在两侧区间分子分母同号，在中间异号。严格大于零不含端点。
想一想：分子分母同号，且分母不能为零。
事件 A、B 独立，P(A)=0.6，P(B)=0.5，至少一个发生的概率为？
答案和讲解
答案：0.8
P(A∩B)=0.6×0.5=0.3；P(A∪B)=0.6+0.5−0.3=0.8。
想一想：相加后要减去同时发生的重复部分。
某模型的平均成本 C(x)=x+4/x，x>0。使成本最小的 x 是？
答案和讲解
答案：2
C′(x)=1−4/x²，在 0<x<2 时为负，x>2 时为正，所以 x=2 时成本最小。
想一想：用导数判断驻点两侧的增减。